Se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a un punto fijo es la misma que a una recta fija.
Al punto fijo, se le llama Foco
F → Foco.
Recta en negro → Directriz.
LL' → Lado recto.
AA' → Cuerda.
BB' → Cuerda focal.
PF → Radio vector.
V → Vértice.
a → Eje focal.
La fórmula general de las parábolas es:
Ax² + Dx + Ey + F = 0
Las fórmulas que se usan para calcular el foco, directriz y vértice van a depender si la parábola es vertical y si abre arriba o hacia abajo o si es horizontal y abre hacia la derecha o la izquierda. Vienen descritas a continuación:
FÓRMULAS PARA CALCULAR CONSTANTES:
Lado Recto = |4p|
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
x ² = 4py ECUACIÓN
V (0, 0) VÉRTICE
F(0, p) FOCO
y = -p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia arriba.
Si p<0 la parábola abre hacia abajo.
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(x - h)² = 4p(y – k) ECUACIÓN
V(h, k) VÉRTICE
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia arriba.
Si p<0 la parábola abre hacia abajo.
PARA LA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
y ² = 4px ECUACIÓN
V(0, 0) VÉRTICE
F(p, 0) FOCO
x = -p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia la derecha.
Si p<0 la parábola abre hacia la izquierda.
PARA LA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(y - k)² = 4p(x – h) ECUACIÓN
V (h, k) VÉRTICE
F (h + p, k) FOCO
x = h - p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia la derecha.
Si p<0 la parábola abre hacia la izquierda.
Lado Recto = |4p|
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
x ² = 4py ECUACIÓN
V (0, 0) VÉRTICE
F(0, p) FOCO
y = -p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia arriba.
Si p<0 la parábola abre hacia abajo.
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(x - h)² = 4p(y – k) ECUACIÓN
V(h, k) VÉRTICE
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia arriba.
Si p<0 la parábola abre hacia abajo.
PARA LA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
y ² = 4px ECUACIÓN
V(0, 0) VÉRTICE
F(p, 0) FOCO
x = -p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia la derecha.
Si p<0 la parábola abre hacia la izquierda.
PARA LA PARÁBOLA HORIZONTAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(y - k)² = 4p(x – h) ECUACIÓN
V (h, k) VÉRTICE
F (h + p, k) FOCO
x = h - p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia la derecha.
Si p<0 la parábola abre hacia la izquierda.
EJEMPLO
Encontrar la ecuación de la parábola con Vértice (3, 2) y Foco(3, 4). Trazar la gráfica correspondiente.
Primero hemos de graficar los datos que nos proporcionan, en este caso, son el vértice y el foco.
Con la ayuda de la gráfica podemos notar si se trata de una parábola horizontal, vertical, con centro en el origen o fuera de este. Para este ejemplo, la parábola es vertical, abre hacia arriba y su vértice está fuera del origen, entonces ocupamos la ecuaciones que corresponden a este tipo de parábola además de utilizar las fórmulas de las constantes, como lo son el lado recto.
(x - h)² = 4p(y – k) ECUACIÓN
V(h, k) VÉRTICE
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
Si p>0 la parábola abre hacia arriba.
Si p<0 la parábola abre hacia abajo.
Sustituimos los valores que nos dan
V(3, 2)
h=3
k=2
F(3, 4)
h=3
k+p=4
En V, se aclaró que k=2, entonces sustituímos:
2+p=4
p=2
Lado Recto = |4p|
LR = | (4)(2) |
LR= 8
Ecuación de la directriz
y = k - p DIRECTRIZ
y=2-2
y=0
Por lo que la directriz, es el eje de las X.
Por último, nos queda sustituir los valores que encontramos en la ecuación:
(x - h)² = 4p(y – k)
(x - 3)² = 4(2)(y – 2)
x²+6x+9 = 8y-16
Igualamos la ecuación a 0.
x²-6x-8y+25=0 <-- Esta es la ecuación general de la parábola:Ax²+Dx+Ey+F=0
Para finalizar hemos de graficar la parábola.
EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
A partir de la ecuación de la parábola, hallar la coordenadas de V y F, trazar la gráfica correspondiente.
a) 2x²+8x-y+8=0
Determinar los demás elementos característicos de la parábola y su ecuación general, generar el gráfico correspondiente.
b) V(-3, -2) y su directriz 2y – 13 = 0.
RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Para resolver los primeros dos incisos, se deben de completar trinomios cuadrados perfectos.
RESOLUCIÓN DEL INCISO a
a) 2x²+8x-y+8=0
Pasamos todo lo que no sea x, al otro lado, si el que estuviese elevado al cuadrado fuera y, se pasaría todo lo que no fuese y al otro lado.
2x²+8x=y-8
Ahora para completar trinomios cuadrados perfectos, debemos hacer que el coeficiente de x², sea uno, como en este caso, es 2, debemos dividir toda la ecuación entre 2.
x²+4x= y/2 - 4
Ahora, al término de x, lo dividimos entre 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado y lo sumamos en ambos miembros de la ecuación:
x²+ 4x + 4= y/2 -4 +4
Ahora como el primero se volvió trinomio al cuadrado perfecto:
(x+2)²= y/2
Lo que es igual a
(x+2)²= 1/2 (y-0)
Esta ecuación, es propia de las parábolas verticales con vértice fuera del origen:
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(x - h)² = 4p(y – k) ECUACIÓN
V(h, k) VÉRTICE
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
(x+2)² = (x-h)²
-h=2
h=-2
k=0
Ahora para calcular p, tenemos que
4p(y-k)
1/2(y-0)
Sustituimos
4p=1/2
p=(1/2)/4
p=1/8
Ya obtenidos h,k,p podemos sustituir para hallar las coordenadas del foco y la directriz.
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
F(-2,0+1/8)
F(-2, 1/8)
V(-2,0)
y = k - p DIRECTRIZ
y=(0-1/8)
y=-1/8
LR= |4p|
LR= 1/2
Para finalizar hemos de graficar.
RESOLUCIÓN DEL INCISO b
Debemos de graficar para darnos una idea de cómo es la parábola
b) V(-3, -2) y su directriz 2y – 13 = 0.
h=-3
k=-2
Directriz
y=13/2
Debemos de graficar para darnos una idea de cómo es la parábola
b) V(-3, -2) y su directriz 2y – 13 = 0.
h=-3
k=-2
Directriz
y=13/2
Por la posición del vértice respeto a la directriz, sabemos que es una parábola vertical que abre hacia abajo y que su vértice está fuera del origen.
Entonces utilicemos todas las fórmulas y ecuaciones referentes a este tipo de parábolas.
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(x - h)² = 4p(y – k) ECUACIÓN
V(h, k) VÉRTICE
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
Sustituimos valores en la ecuación de la directriz
13/2=-3-p
p=-19/2
Una vez obtenida p, la usamos para obtener otros valores
F(-3,-2-19/2)
F(-3, -23/2)
LR= |4p|
LR= 38
Ahora ya obtenido todo, sólo sustituimos en la ecuación
(x+3)²=4(-19/2)(y+2)
x²+6x+9=-38y-76
x²+6x+38y+85=0
Entonces utilicemos todas las fórmulas y ecuaciones referentes a este tipo de parábolas.
PARA LA PARÁBOLA VERTICAL CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN
(x - h)² = 4p(y – k) ECUACIÓN
V(h, k) VÉRTICE
F(h, k + p) FOCO
y = k - p DIRECTRIZ
Sustituimos valores en la ecuación de la directriz
13/2=-3-p
p=-19/2
Una vez obtenida p, la usamos para obtener otros valores
F(-3,-2-19/2)
F(-3, -23/2)
LR= |4p|
LR= 38
Ahora ya obtenido todo, sólo sustituimos en la ecuación
(x+3)²=4(-19/2)(y+2)
x²+6x+9=-38y-76
x²+6x+38y+85=0