La razón es el cociente, una comparación entre dos tramos de un segmento.
En el siguiente ejemplo, se muestra que en el segmento AB, P, es un punto ubicado dentro de la recta. Para obtener la razón de esta recta, primer debemos comprender que ES DISTINTO si tomamos la razón de ARRIBA a ABAJO, que al revés. El sentido de donde tomemos la razón es importante, generalmente, tomamos el punto más abajo al que se encuentra en la parte de arriba. El sentido importa.
En el siguiente ejemplo, se muestra que en el segmento AB, P, es un punto ubicado dentro de la recta. Para obtener la razón de esta recta, primer debemos comprender que ES DISTINTO si tomamos la razón de ARRIBA a ABAJO, que al revés. El sentido de donde tomemos la razón es importante, generalmente, tomamos el punto más abajo al que se encuentra en la parte de arriba. El sentido importa.
La razón es una comparación entre dos extremos de una recta, entonces, la fórmula para obtener una razón, (que a partir de ahora representaremos con la letra r), será r= AP/PB.
Ciertos problemas, nos piden obtener, las coordenadas de "x" y "y".
Sea A (x1,y1) y B(x2,y2), los extremos del segmento AB. Las coordenadas del punto P(x,y) al segmento en una razón dada son:
x=(x1+rx2)/1+r y=(y1+ry2)/1+r
Para comprobar esto y ver de donde salieron la fórmulas correspondientes, trazaremos rectas paralelas al eje Y, los puntos donde se intercepten, tendrán letras (P, Q, R) donde su coordenadas serán (x1,0) ya que es una recta que comparte "x" de A, (x,0) ya que comparte eje "x" de P y por último (x2,0) ya que comparte coordenada "x" de B.
Haremos uso del Teorema de Tales, donde se plantea que dos razones son iguales y a su vez proporcionales.
Entonces r=AP/PB=(x-x1)/(x2-x)
r=(x-x1)/(x2-x)
Pasamos el divisor al otro miembro de la ecuación donde está r, quedando:
r(x2-x)=x-x1
rx2-rx=x-x1, pasaremos al otro miembro a -rx y a -x1
rx2+x1=x+rx
Sacamos factor común, del segundo miembro de la ecuación
rx2+x1=x(1+r)
Y para finalizar, el factor (que está multiplicando), lo pasamos al otro miembro, para que divida. Estableciendo
x=(rx2+x1)/(1+r).
De manera análoga, se hará la misma comprobación de y.
Y así es como se obtienen la fórmula para calcular valor en "x" y valor en "y" del punto P.
Ciertos problemas, nos piden obtener, las coordenadas de "x" y "y".
Sea A (x1,y1) y B(x2,y2), los extremos del segmento AB. Las coordenadas del punto P(x,y) al segmento en una razón dada son:
x=(x1+rx2)/1+r y=(y1+ry2)/1+r
Para comprobar esto y ver de donde salieron la fórmulas correspondientes, trazaremos rectas paralelas al eje Y, los puntos donde se intercepten, tendrán letras (P, Q, R) donde su coordenadas serán (x1,0) ya que es una recta que comparte "x" de A, (x,0) ya que comparte eje "x" de P y por último (x2,0) ya que comparte coordenada "x" de B.
Haremos uso del Teorema de Tales, donde se plantea que dos razones son iguales y a su vez proporcionales.
Entonces r=AP/PB=(x-x1)/(x2-x)
r=(x-x1)/(x2-x)
Pasamos el divisor al otro miembro de la ecuación donde está r, quedando:
r(x2-x)=x-x1
rx2-rx=x-x1, pasaremos al otro miembro a -rx y a -x1
rx2+x1=x+rx
Sacamos factor común, del segundo miembro de la ecuación
rx2+x1=x(1+r)
Y para finalizar, el factor (que está multiplicando), lo pasamos al otro miembro, para que divida. Estableciendo
x=(rx2+x1)/(1+r).
De manera análoga, se hará la misma comprobación de y.
Y así es como se obtienen la fórmula para calcular valor en "x" y valor en "y" del punto P.
EJERCICIOS RESUELTOS PARA LA PRÁCTICA PARA ENCONTRAR COORDENADAS DE P, CON UNA RAZÓN DADA.
a) En un segmento AB, donde A tiene coordenadas (6,-3) y B(1,6). Hallar coordenadas de del punto P, si la razón es de 4.
a) En un segmento AB, donde A tiene coordenadas (6,-3) y B(1,6). Hallar coordenadas de del punto P, si la razón es de 4.
RESOLUCIÓN:
Tenemos que considerar el sentido de la razón, ya que si lo hacemos al revés, tendríamos una razón de 1/4.
Utilizando la fórmula de la coordenada de x:
x= (x1+rx2)/(1+r)
Sustituyendo valores, quedaría
x=(6+4*1)/(1+4)
x=10/5 x=2
Utilizando la fórmula de la coordenada de y:
y= (y1+ry2)/(1+r)
Sustituyendo valores, quedaría
y=(-3+4*6)/(1+4)
y=21/5 y=4.25
Tenemos que considerar el sentido de la razón, ya que si lo hacemos al revés, tendríamos una razón de 1/4.
Utilizando la fórmula de la coordenada de x:
x= (x1+rx2)/(1+r)
Sustituyendo valores, quedaría
x=(6+4*1)/(1+4)
x=10/5 x=2
Utilizando la fórmula de la coordenada de y:
y= (y1+ry2)/(1+r)
Sustituyendo valores, quedaría
y=(-3+4*6)/(1+4)
y=21/5 y=4.25
Así obtenemos las coordenadas de P(2,4.25).
Siendo estas las respuestas del inciso a.
Siendo estas las respuestas del inciso a.
b) Encontrar la coordenadas del punto P1, que es un extremo, en la recta AB, si tenemos que B tiene coordenadas (2,5) y r=2, P tiene una ubicación(3,8/3).
RESOLUCIÓN:
Tenemos ya las coordenadas de P(x,y) y de F(x2,y2), hemos de despejar para encontrar x1,y1:
x=(x1+rx2)/1+r
3=(x1+2*2)/3
Pasamos el 3 que está diviendo, a multiplicar el otro miembro
9=x1+4
Y se realiza la ecuación lineal
x1=5
Hemos de despejar para encontrar y1:
y1=(y1+ry2)/1+r
8/3=(y1+5*2)/3
Pasamos el 3 que está diviendo, a multiplicar el otro miembro
8=y1+10
Y se realiza la ecuación lineal
y1=-2
RESOLUCIÓN:
Tenemos ya las coordenadas de P(x,y) y de F(x2,y2), hemos de despejar para encontrar x1,y1:
x=(x1+rx2)/1+r
3=(x1+2*2)/3
Pasamos el 3 que está diviendo, a multiplicar el otro miembro
9=x1+4
Y se realiza la ecuación lineal
x1=5
Hemos de despejar para encontrar y1:
y1=(y1+ry2)/1+r
8/3=(y1+5*2)/3
Pasamos el 3 que está diviendo, a multiplicar el otro miembro
8=y1+10
Y se realiza la ecuación lineal
y1=-2