Una ecuación de primer grado es una igualdad que involucra variables elevadas a la primera potencia, y solamente involucra sumas y restas. Ej.: x+3y+5=0 Las ecuaciones lineales, sirven para representar de forma matemáticas una recta. Una recta es un conjunto infinito de puntos alienados en una dirección. Las ecuaciones de las rectas, varían en cómo se formula de aucerdo con los datos que se tengan de la recta que se quiere representar algebraicamente, hay vairas formas de representar la recta. Estas son las distintas formas de la ecuación de la recta: Punto pendiente: (y-y1)=m(x-x1) Común: y=mx+b Cartesiana: y-y1= (y2-y1) (x-x1) (x2-x1) Punto pendiente: x cos ω + y sen ω = 1 General: Ax+By+C=0 Simétrica x + y = 1 a b Dependiendo de los datos que proporcionen, será la forma de la ecuación que utilizaremos. Al final, pondremos la expresión que obtuvimos a la forma general. EJEMPLOS: Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos J(5,3) y L(-2,-4). La podemos resolver de dos maneras. Por la forma cartesiana: y-y1= (y2-y1) (x-x1) (x2-x1) y-3= (-4-3) (x-5) (-2-5) -7y+21= -7x+35 7x-7y-14=0 Si dividimos entre 7 a la ecuación x-y-2=0 O bien, por la forma punto-pendiente: J(5,3) y L(-2,-4) Sacamos pendiente de los puntos dados, y tomamos uno de ambos puntos. m=(-4-3)/(-2-5) m=(-7)/(-7) m=1 Forma punto-pendiente: Usando cualquiera de los dos puntos (y-3)=1(x-5) y-3=x-5 x-y-2=0 Hallar la ecuación de la recta 1 que pasa por (5,-5) y a su vez en perpendicular a la recta 2 que pasa por (-6,9) y (4,-7) De la recta 2, solo nos interesa m (pendiente) porque así ml1=(-1/ml2) ml2= (y2-y1)/(x2-x1) ml2=(-16)/(10) ml2=-8/5 Como la recta 1 es perpendicular a la recta 2, su pendiente es recíproca a la de la recta 2. ml1= 5/8 Con la pendiente, ya podemos utilizar la forma del punto-pendiente: (y-y1)=m(x-x1) (y+5)=5/8(x-5) 8y+40=5x-25 5x-8y-65=0 EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICAS DE DISTINTAS FORMAS DE ECUACIÓN DE LA RECTA. 1) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa al origen es 8 y ordenada al origen es 4. 2) Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es -3 y su abscisa al origen es 6. 3) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB que pasa por los puntos A(3,2) y C(5,-4). 4) Hallar las 4 ecuaciones de un cuadrado cuyos puntos son S(-1,4), R(3,6), Q(5,2) y P(1,0). 5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por lo punto P(-2,2) y Q(3,4), y que es paralela a una recta cuya pendiente es de 2/5. 6) Hallar las ecuaciones de las rectas que forman un triángulo, con vértices en las coordenadas A(2,3), B(-3,4) y C(3,-2). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1) Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa al origen es 8 y ordenada al origen es 4. a=8 , b=4 Y como tenemos a,b, haremos uso de la forma simétrica. Forma simétrica: x + y = 1 a b x + y = 1 8 4 Multiplicamos por 8 para eliminar los denominadores. x+2y=8 x+2y-8=0 2) Hallar la ecuación de la recta cuya ordenada al origen es -3 y su abscisa al origen es 6. Es semejante al problema anterior. a=6 b=-3 x + y = 1 a b x + y = 1 6 -3 Multiplicamos por el mínimo común múltiplo, que es 6, quedando: x-2y=6 x-2y-6=0 3) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB que pasa por los puntos A(3,2) y C(5,-4). Recordemos que una mediatriz, divide a un segmento en dos, y que forma 90°, por lo que es perpendicular. Tenemos que calcular la pendiente de AB, mAB= (-6)/(2) mAB= - 3 Entonces, la pendiente de la mediatriz es 1/3, ya que ( -3 )( 1/3 )= -1 Y nos falta el punto por donde pasa la mediatriz, que sería el punto medio de AB: x=(x1+x2)/2= (5+3)/2= 4 y=(y1+y2)/2= (2-4)/2= -1 Al punto medio le denominaremos P, entonces: P(4,-1) y m=1/3, usando la forma punto-pendiente: (y-y1)=m(x-x1) (y+1)=1/3(x-4) 3y+3=x-4 x-3y-7=0 4) Hallar las 4 ecuaciones de un cuadrado cuyos puntos son S(-1,4), R(3,6), Q(5,2) y P(1,0). Determinar las coordenadas de sus vértices. Calculamos las pendientes, para obtener las ecuaciones de las rectas por medio de punto-pendiente. mSR=(6-4)/(3+1)= 1/2 mRQ=(2-6)/(5-3)= -2 mQP=(0-2)/(1-5)= 1/2 mPS=(4-0)/(-1-1)= -2 Ecuación SR (y-y1)=m(x-x1) (y-4)=1/2(x+1) 2y-8=x+1 x-2y+9=0 Ecuación RQ (y-y1)=m(x-x1) (y-6)=-2(x-3) y-6=-2x+6 2x+y-12=0 Ecuación QP (y-y1)=m(x-x1) (y-0)=1/2(x-1) 2y=x-1 x-2y-1=0 Ecuación PS (y-y1)=m(x-x1) (y-0)=-2(x-1) y=-2x+2 2x+y-2=0 5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por lo punto P(-2,2) y Q(3,4), y que es paralela a una recta cuya pendiente es de 2/5. Ya tenemos el punto, ya sea P o Q, y la pendiente. Usamos punto pendiente: (y-y1)=m(x-x1) (y-4)=2/5(x-3) 5y-20=2x-6 2x-5y+14=0 6) Hallar las ecuaciones de las rectas que forman un triángulo, con vértices en las coordenadas A(2,3), B(-3,4) y C(3,-2). Calculamos las pendientes, para obtener las ecuaciones de las rectas por medio de punto-pendiente. mAB=(4-3)/(-3-2)= -1/5 mBC=(-2-4)/(3+3)= -1 mAC=(-2-3)/(3-2)= -5 Ecuación AB (y-y1)=m(x-x1) (y-4)=-1/5(x+3) 5y-20=-x-3 x+5y-17=0 Ecuación BC (y-y1)=m(x-x1) (y-4)=-1(x+3) y-4=-x-3 x+y-1=0 Ecuación AC (y-y1)=m(x-x1) (y+2)=-5(x-3) y+2=-5x+15 5x+y-13=0 Para calcular el ángulo formado entre dos rectas, se necesitan las pendientes de ambas, para así hacer uso de la siguiente fórmula: tgß=(m2-m1)/(1+m2*m1) EJEMPLOS: Si una l2 tiene coordenadas (-1,1) y (3,7) Y l1 (4,1) y (6.2) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (7-1)/(3+1) m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (2-1)/(6-4) m2= 6/4= 3/2 m1= 1/2 Ya teniendo las pendientes: tgß=(m2-m1)/(1+m2*m1) tgß=(3/2-1/2)/(1+1/2*3/2) tgß=(1)/(7/4) tgß= 4/7 ß= tg^-1(4/7) ß=10° 51' 7.07" EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE CALCULAR UN ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS. a) Si una l2 tiene m2= -3
Y l1 tiene m1= -1/2 Encontrar el ángulo que forman. b) Si una l2 tiene m2= 3 Y l1 tiene m1= 0 Encontrar el ángulo que forman. RESOLUCIÓN DEL INCISO a Ya teniendo las pendientes: tgß=(m2-m1)/(1+m2*m1) tgß=(-3+1/2)/(1+-3*1/2) tgß=(-1/2)/(-1/2) tgß= 1 ß= tg^-1(1) ß=45° RESOLUCIÓN DEL INCISO b Ya teniendo las pendientes: tgß=(m2-m1)/(1+m2*m1) tgß=(3-0)/(1+3*0) tgß=(3)/(1) tgß= 3 ß= tg^-1(3) ß=71°33'54.18" Se dice que dos segmentos son PARALELOS, si sus pendientes son iguales. L1 || L2 si ml1=ml2 También se define como segmentos PERPENDICULARES, si el producto de sus pendientes es -1. Osease, que sus pendientes son recíprocas. L1 ┴ L2 si ml1=(-1)/(ml2) => ml1 * ml2 = -1 EJEMPLO DE PARALELISMO. Para saber si nos estamos refiriendo a un par de segmentos paralelos, debemos, calcular su pendiente: Las coordenadas de los puntos del segmento l1 son (4,1) y (1,5). Mientras que las coordenadas de los puntos del segmento l2 son (4,2) y (1,6). m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (5-1)/(1-4) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (6-2)/(1-4) m1= - 4/3 m2= - 4/3 Como ambas pendientes son iguales, son PARALELAS. EJEMPLO DE PERPENDICULARIDAD. Las coordenadas de ambos segmentos son l1 (12,1) y (10,3), l2 (9,2) y (11,4) Para saber si son perpendiculares, debemos calcular su pendiente. m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (3-1)/(10-12) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (4-2)/(11-9) m1= - 2/2= -1 m2= 2/2= 1 Como (m2)(m1)=-1, entonces son perpendiculares. EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE PARALELISMO. a) Las coordenadas de los puntos del segmento l1 son (1,-1) y (4,1). Las coordenadas de los puntos del segmento l2 son (1,2) y (4,4). b) RESOLUCIÓN DEL INCISO a Las coordenadas de los puntos del segmento l1 son (1,-1) y (4,1). Mientras que las coordenadas de los puntos del segmento l2 son (1,2) y (4,4). m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (1-(-1))/(4-1) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (4-2)/(4-1) m1= 2/3 m2= 2/3 Como ambas pendientes son iguales, son PARALELAS. RESOLUCIÓN DEL INCISO b Las coordenadas de los puntos del segmento l1 son (1,1) y (5,-1). Mientras que las coordenadas de los puntos del segmento l2 son (1,2) y (5,0). m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (-1-1)/(5-1) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (0-2)/(5-1) m1= -2/3 m2= -2/3 Como ambas pendientes son iguales, son PARALELAS. EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE LAS PERPENDICULARIDAD a) Coordenadas de l1= (3,0) y (4, 2) l2 (5,-1) y (1, 1) b) Coordenadas de l1= (4,1) y (2.5, 2.5) l2 (1,1) y (4,4) RESOLUCIÓN INCISO a Coordenadas de l1= (3,0) y (4, 2) l2 (5,-1) y (1,1) m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (2-0)/(4-3) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (1+1)/(1-5) m1= 2/1 = 2 m2= -2/4 = -1/2 Como ambas pendientes son recíprocas ( 2 * (-1/2) = -1), son PERPENDICULARES. RESOLUCIÓN INCISO b Coordenadas de l1= (4,1) y (2.5, 2.5) l2 (1,1) y (4,4) m1=(y2-y1)/(x2-x1)= (2.5- 1)/(2.5-4) m2=(y2-y1)/(x2-x1)= (4-1)/(4-1) m1= -1.5/1.5 = -1 m2= 3/3 = 1 Como ambas pendientes son recíprocas ( 1* (-1) = -1), son PERPENDICULARES. Se define a la pendiente como la tangente del ángulo de inclinación. De manera intuitiva, decimos que una recta, tiene mayor pendiente cuando su inclinación es más grande. Demostración de que una pendiente de un segmento, cuyos extremos son los puntos A (x1,y1) y B(x2,y2), se puede calcular m= (y2-y1)/(x2-x1) A la intercepción del la recta paralela al eje Y, que comienza desde el punto B y se intercepta con la paralela al eje X, que comienza del punto A, le denominaremos R, y al ser paralelas a los ejes, el grado de R es 90°. Si prologáramos la recta BQ, y se interceptara en el eje de las X, al punto de intercepción le denominaríamos Q, y a la prologación de AB, donde intercepte con el eje de las X, le pondremos P. El ángulo que se forma entre las paralelas al eje X (AR) y al eje Y (BR) forman 90°. De misma PQ y BQ, forman ángulos de 90° Al ángulo que se forma entre AB y la paralela al eje X AR, le pondremos ß, y al que se forma con la prolongación de AB y el eje de las abscisas se le asignará α. Como PBQ, y ABR, comparten el ángulo B, y como R= 90° y Q= 90°, entonces 90°+B+α=180°(que son los ángulos internos de un triángulo) y 90°+B+ß= 180°. Igualamos ambas ecuaciones: 90°+ß+B=90°+α+B 90°-90°+B-B+ß=α ß=α m se puede calcular, ya sea teniendo la localización de los puntos A y B. O teniendo el ángulo de inclinación. Las siguientes fórmulas son para calcular pendiente. m=tg α= (y2-y1)/(x2-x1) EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DE CALCULAR LA PENDIENTE DE UNA RECTA Según las coordenadas de sus extremos: a) A(4,1) y B(-2,5) b) A(-7,1) y B(1,-6) Si nos proporcionan el ángulo. Como m=tgα a)45° b)60° c)30° d)90° SOLUCIÓN: Según las coordenadas de sus extremos a) A(4,1) y B(-2,5) m= (y2-y1)/(x2-x1) Sustituyendo: m=(5-1)/(-2-4) m=4/-6 m=-2/3 b) A(-7,1) y B(1,-6) m= (y2-y1)/(x2-x1) Sustituyendo: m=(1-(-6))/(-7-1) m=7/-8 m=-7/8 Si nos proporcionan el ángulo a) 45°= tg 45° = 1 b) 60°= tg 60° = √3 c) 30°= tg 30° = d) La tangente de 90° tiende a ∞, ya que al resta, x2-x1 da 0, porque comparten la misma abscisa, y todo número dividido entre 0, tiende a ∞. Un polígono se define como una figura geométrica plana que está delimitada por tres o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices. Si se trazara un polígono, se puede calcular su área, conociendo las coordenadas de sus puntos, en el plano. Para esto, haremos uso de la sig. fórmula. A= 1/2 | x(0) , y(0)| | . | | . | | . | |x(n-1), y (n-1)| | x(0) , y(0) | Esta fórmula implica el dominio de determinantes. Y para escribir la determinante, se escoge un punto del polígono, y se recorren, en sentido anti-horario, todos los puntos que conformen al polígono, hasta volver a anotar las coordenadas del punto que escogimos. Dentro de la determinante, las coordenadas de este punto, se repetirán dos veces. Como un breve recordatorio, las multiplicaciones que se realicen "hacia arriba", serán las que CAMBIARÁN SU SIGNO, mientras que los productos de las multiplicaciones "hacia abajo", PERMANECERÁN IGUAL. Ej.: Dadas las coordenadas, las ponemos en la fórmula, empezaremos con las coordenadas del punto C. A= 1/2 | 9, 4 | | 3, 4 | | 2, 1 | | 8, 1 | | 9, 4 | Resolvemos la determinante: 3x4=12, pero como es una multiplicación hacia arriba, cambia signo= -12. 2x4= -8 8x1= -8 9x1= -9 Las multiplicaciones hacia abajo, permanecen iguales: 8x4= 32 2x1= 2 3x1= 3 9x4= 36 Hacemos, la suma, (correspondiente al método de determinantes): -12-8-8-9+32+2+3+36=36 A= 1/2 | 36 | Y la mitad de 36 = 18 A= 18 u². EJERCICIOS PARA LA PRÁCTICA DEL CÁLCULO DEL ÁREA DE UN POLÍGONO, EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES. a) A(-2, -4), B(3, -2), C(5, -1), D(1, 6) y E(-3, 4). b) A(-2, -4), B(6, -2), C(7, 4), D(-8, 2) Trazar los polígonos, para tener un referencia visual. SOLUCIÓN: a) Escogemos un vértice del polígono, y lo recorremos en sentido anti-horario, de nuevo, para hacer una referencia gráfica, está el plano: Tomaremos como vértice de partida, el punto A Entonces la fórmula quedaría: A= 1/2 | xA, yA| | xB, yB| | xC, yC| | xD, yD| | xE, yE| Se vuelve a repetir las coordenadas del vértice de origen | xA, yA| Sustituyendo valores: A= 1/2 | -2, -4| | 3, -2| | 5, -1 | | 1, 6 | | -3, 4 | | -2, -4| Resolvemos la determinante, los productos de las multiplicaciones "hacia arriba" cambia de signo, entonces: 3 x -4= -12= 12 5 x -2= -10 = 10 1 x -1= -1 = 1 -3 x 6= -18 = 18 -2 x 4= -8 = 8 "Hacia abajo" los productos mantienen sus signos: -3 x -4= 12 1 x 4= 4 5 x 6= 30 3 x -1= -3 -2 x -2= 4 Y resolvemos, las sumas y restas correspondientes: A= 1/2 |12+12+1+18+8+12+4+30-3+4=98| A= 1/2 |98| RESPUESTA DEL INCISO a A=49 u² SOLUCIÓN b) Trazaremos la figura para darnos una referencia gráfica: El punto D, será el vértice de partida en este ejemplo: A= |-8,2| |-2,-4| |6,-2| |7, 4| Se repiten las coordenadas del vértice de origen. |-8,2| Resolvemos A= |-8,2| |-2,-4| |6,-2| |7, 4| |-8,2| -2 x 2= -4 = 4 6 x -4= -24= 24 7 x -2= -14= 14 -8 x 4= -32= 32 -8 x -4= 32 -2 x -2= 4 6 x 4= 24 7 x 2= 14 Resolvemos las sumas y restas correspondientes: A= 1/2 |4+24+14+32+32+4+24+14=144| A= 1/2 |144| RESPUESTA DEL INCISO b A=74 u² |
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Diciembre 2016
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